Haar变换又叫做Haar小波变换，是一种简单的小波变换，那么什么又是小波变换呢？所谓的小波是一种能量会衰减的波形，不同于能量永恒的波形，例如正弦波。从下面的图形可以形象看出它的命名由来：

正弦波

小波

小波变换同其他许多信号和数据的变换一样，其作用是作数据或信号的分析，处理。在这里，变换常常用到的方法便是，使用一组基（向量基，或者基函数等）对一个信号进行分解，也可以看作是使用一组函数（比如正弦、余弦函数）重新表示这个信号或原函数，这样做便能将信号中不同的分量拿出来作分析。而在作这些分解的时候，有时还要求或者希望基是互相正交的。

作为一类非常有用的变换，小波变换的特点是选用了“小波”（而非正弦波等）作为变换的基函数，使得它在处理非周期的、能量突然变换的信号时更有优势，想象一下，如下图的这个信号，如果用能量永恒的波形（其波形在整个时间轴一直持续）进行拟合将麻烦很多。

由于这种特性，使得小波变换不仅在图像的处理，在图像的检测方面也能发挥用武之地。

作为一种简单的小波变换，Haar变换在图像的检测中又有什么作用呢？首先，我们来看看什么是Haar变换。

假设我们有一张图，大小是1 x 4，也就是一张一维的图像，像下图这样：

8

4

1

3

接下来，我们对它进行Haar变换，变换的结果同样存放在一个1 x 4的数组中。

第一步，将图像中的元素两两计算平均值，并将结果存放在目标数组的开始部分，假如我们将原图像叫做P，结果数组叫做P1，则计算之后结果如下：

P1：

6

2

如果只看P1的前半部分，在计算之后，我们得到了一幅分辨率只有原来一半的新图像。

这一步我们把它叫做求均值(averaging)，也叫做approximation。

第二步，计算前面两两元素的差值并除以2，再将结果存放到目标数组P1的后半部分。

P1:

6

2

2

-1

当我们将图像压缩为原来分辨率一半的新图像的时候，图像的部分信息丢失了，如果需要还原原始图像，则需要补充一些细节信息。而图像两两元素的均值，与两两元素的差值，正好可以求出原像素。

这样，结果数组P1就完整地保留了原始图像的所有信息。这一步我们把它叫做求差值(differencing)。

在这里介绍几个术语，一个叫做approximation coefficients，也叫尺度函数的系数，就是前面求出来的均值。另一个叫做detail coefficients，也叫做小波函数的系数，或者细节系数。经过这个变换之后，目标数组将会存储低频信息和高频信息，低频信息对应于均值，高频信息对应于差值。

如果我们将图像继续压缩，对数组将半部分存储的均值部分继续做以上的变换，则可以得到：

P1:

4

2

2

-1

这个时候图像被压缩到了原来的1/4，只有一个像素，而细节信息则有三个像素。下面用一个表格把这两次变换放到一起，看看完整的过程。

分辨率	均值	差值
4	[8,4,1,3]
2	[6,2]	[2,-1]
1	[4]	[2]

在这个过程中，信息是没有损失的，可以无损地还原图像。

有关于如何还原原始图像，在《Haar 小波——原理》（网址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/386322623）一文中有非常通俗易懂的描述，感兴趣可以看一看。

刚才我们其实只是讲到了一个一维信号的Haar变换，如果是二维信号呢？图像通常都是二维信号，只不过刚才为了易于理解，我们选取了一个只有一行像素的图像作为例子。

对于二维信号，通常有两种规则进行分解：标准分解和非标准分解。标准分解是指先对每一行完成分解，然后再对完成行分解的数据中的每一列进行分解；而非标准分解则是交替进行行列的分解。需要注意的是两种分解规则所得到的结果是不完全相同的。

标准分解法示意：

非标准分解法示意：

我们以非标准分解法举例，分解之后的图像是这样的：

灰度图像看得更清楚：

从上面的例子我们可以看到，Haar变换只是降低了图像的分辨率，并没有改变图像的轮廓。同时我们还发现，均值变换缓慢，属于低频信息，存储了图片的轮廓信息；而差值变化较快，属于高频信息，存储了图像的细节信息，还有噪音。

这个特点对于Haar特征这一工具来说是非常重要的。